Les intérêts composés

Les intérêts composés sont des intérêts calculés sur un montant qui comprend déjà des intérêts gagnés antérieurement.

L'arithmétique est véritablement puissante et elle est aussi régulièrement exagérée. Les deux affirmations sont vraies et cette page traite les deux.

Qu'est-ce que l'intérêt composé?

De l'intérêt gagné sur le capital et sur l'intérêt qui s'y est déjà ajouté.

L'intérêt simple est calculé uniquement sur le montant d'origine. L'intérêt composé est calculé sur une base qui grandit à chaque période, ce qui explique que les deux divergent lentement d'abord, puis sensiblement.

Le même mécanisme opère sur une dette. Un solde impayé accumule de l'intérêt, l'intérêt s'ajoute au solde, et l'intérêt de la période suivante est calculé sur le montant plus élevé. La composition est indifférente au sens dans lequel elle opère.

Comment fonctionne la composition?

Par l'application répétée à une base qui grandit.

Selon Jason Fernando, dans Investopedia, l'intérêt composé se calcule en multipliant le capital par un plus le taux annuel, élevé au nombre de périodes de composition, le capital d'origine étant ensuite soustrait pour isoler l'intérêt.

La formule est A = P (1 + r/n)^(nt), et chaque terme compte.

P est le capital, le montant de départ.

r est le taux annuel exprimé en décimale, de sorte que six pour cent s'écrit 0,06.

n est le nombre de fois où l'intérêt se compose chaque année. Annuellement, c'est 1; mensuellement, 12; quotidiennement, 365.

t est le nombre d'années.

A est le total à la fin, capital compris. Soustrayez P pour obtenir l'intérêt seul.

Pourquoi la fréquence compte moins que les gens ne le pensent

Passer d'une composition annuelle à une composition mensuelle au même taux nominal améliore modestement le résultat. Passer de mensuelle à quotidienne l'améliore très peu.

Le taux et le temps dominent. La fréquence est un raffinement, et une commercialisation qui insiste sur la composition quotidienne attire l'attention sur la moins conséquente des trois variables.

La distinction à demander est celle du taux nominal et du taux effectif. Un taux nominal composé plus souvent produit un taux effectif plus élevé, et le chiffre effectif est celui qui permet de comparer deux arrangements. Lorsque seul un taux nominal est cité, la comparaison est incomplète.

La règle de 72

Divisez 72 par le taux annuel pour approximer le nombre d'années qu'un montant met à doubler.

À six pour cent, environ douze ans. À neuf pour cent, huit. À trois pour cent, vingt-quatre.

C'est une approximation plutôt qu'un calcul, et elle est assez exacte pour du calcul mental dans la fourchette de taux que la plupart des gens rencontrent. Sa valeur est de rendre l'effet d'un écart de taux immédiatement visible sans tableur.

Elle joue contre vous de façon identique. Une dette à dix-huit pour cent double en environ quatre ans si rien n'est remboursé.

Quels sont les avantages de la composition?

La croissance s'accélère sans effort supplémentaire. La base grandit, de sorte que chaque période produit davantage que la précédente à partir du même taux.

Le temps contribue davantage que le taux pour la plupart des gens. Un taux modeste sur une longue période surpasse fréquemment un taux plus élevé sur une courte, ce qui explique que commencer compte davantage qu'optimiser.

Les cotisations régulières se composent aussi. Chaque ajout entame sa propre composition à partir de la date où il arrive, ce qui explique que la constance surpasse le choix du moment pour la plupart des ménages.

C'est de l'arithmétique plutôt qu'une caractéristique de produit. Tout arrangement où les gains s'ajoutent à la base plutôt que d'en être retirés se compose. Rien n'a besoin d'être acheté pour que le mécanisme opère.

Quels sont les risques et les exagérations?

Cette section est plus longue que celle des avantages, délibérément, parce que c'est dans l'exagération que le préjudice survient.

Un taux nominal n'est pas un taux réel. L'inflation érode le pouvoir d'achat chaque année. Une projection sur trente ans en dollars nominaux décrit un nombre, non ce qu'il achète. Le taux réel est ce que le taux nominal laisse après l'inflation, et il est sensiblement plus bas.

L'impôt et les frais sont habituellement omis. Un rendement cité avant impôt, frais et coûts de transaction n'est pas un rendement que quelqu'un a reçu. Ces déductions se composent aussi, dans le mauvais sens.

« Sans interruption » est une hypothèse, non un fait. Chaque projection composée présume que les cotisations continuent et que rien n'est retiré. Les vies financières réelles comportent des changements d'emploi, la maladie, et des années où les cotisations cessent. Une projection qui ne tient jamais compte d'une interruption décrit une vie que personne n'a.

La séquence compte dès que les retraits commencent. Deux arrangements aux rendements moyens identiques produisent des résultats très différents si l'un connaît de mauvaises années tôt dans une phase de retrait, parce que chaque retrait pendant un recul cristallise la perte. Les moyennes décrivent le passé; les séquences décrivent ce qui est réellement arrivé à une personne.

La composition joue contre vous sur une dette avec exactement la même arithmétique, et la dette des ménages est l'endroit où la plupart des gens la rencontrent en premier et le plus cher.

Rien de cela ne rend la composition fausse. Cela rend toute présentation de la composition digne d'une lecture attentive, et cela rend la portion garantie de tout arrangement plus intéressante que sa portion projetée.

Quels arrangements comportent une composition?

Ce cabinet ne peut pas vous dire lequel choisir, et la frontière est un permis plutôt qu'une préférence: il n'est pas inscrit auprès de l'Organisme canadien de réglementation des investissements et ne fournit pas de conseil en valeurs mobilières.

Ce qui peut être dit est descriptif. La composition opère partout où les gains s'ajoutent à une base plutôt que d'en être retirés. Cela comprend les dépôts portant intérêt, les comptes enregistrés dont la croissance n'est pas retirée, les distributions réinvesties, et la valeur qui s'accumule à l'intérieur d'un contrat d'assurance permanente, sous réserve que ce contrat demeure exonéré selon les règles canadiennes.

Lequel de ceux-là vous convient dépend de votre situation, de votre horizon et de votre position fiscale, et c'est une question pour une personne qualifiée pour y répondre et qui connaît ces faits.

Qu'est-ce qui augmente l'effet?

Quatre facteurs, dans l'ordre de leur importance.

Le temps. Le contributeur unique le plus important, et le seul qui ne peut pas être récupéré plus tard.

Le taux, avec la mise en garde qu'un taux plus élevé s'accompagne généralement d'une incertitude plus grande, et qu'une projection comparant des taux sans comparer les risques ne compare qu'une seule variable.

Les cotisations, à la fois leur ampleur et leur constance.

Le fait de ne pas l'interrompre. Les retraits réinitialisent la base, et une base réinitialisée à l'année huit perd la composition qui se serait produite à partir de l'année huit, non simplement le montant retiré.

Quelle est une approche saine de la composition?

Énoncée comme des principes plutôt que comme une recommandation, parce qu'une recommandation exige de vous connaître.

Commencez, plutôt que d'optimiser. Les années perdues à décider sont des années que l'arithmétique ne peut pas récupérer.

Préférez la constance au choix du moment. Les cotisations régulières se composent à partir de la date où chacune arrive, et la constance est un comportement que vous contrôlez.

Utilisez d'abord les droits de cotisation à l'abri de l'impôt qui sont disponibles. Pour la plupart des ménages canadiens, les droits inutilisés dans les régimes enregistrés sont l'endroit où la composition opère le plus efficacement, parce que la croissance n'est pas réduite par une imposition annuelle.

Traitez la dette qui se compose avant de poursuivre une croissance qui se compose. Une dette qui se compose à un taux élevé défait une croissance qui se compose à un taux plus bas, et la comparaison est rarement serrée.

Lisez chaque projection pour ses hypothèses, en particulier pour savoir si elle est nominale ou réelle, brute ou nette, et si elle présume l'absence d'interruption.

Travailler la formule, étape par étape

La formule est plus facile à croire une fois qu'on l'a appliquée soi-même, alors la voici avec des nombres ronds à titre d'illustration plutôt qu'avec un arrangement réel.

Prenez 10 000 $ à six pour cent, composé annuellement, pendant dix ans.

P vaut 10000. r vaut 0,06. n vaut 1. t vaut 10.

La parenthèse est un plus 0,06 divisé par 1, soit 1,06. L'exposant est n fois t, soit 10. Le calcul est donc 10000 multiplié par 1,06 à la puissance dix, ce qui donne environ 17 900 $. En soustrayant les 10 000 $ d'origine, il reste environ 7 900 $ d'intérêt.

L'intérêt simple aux mêmes conditions serait de 600 $ par année pendant dix ans, soit 6 000 $. L'écart d'environ 1 900 $ est la composition.

Sur trente ans aux mêmes conditions, on obtient environ 57 400 $, dont environ 47 400 $ d'intérêt. L'intérêt simple sur trente ans produirait 18 000 $. Cet écart qui se creuse est tout le propos du concept, et c'est la raison pour laquelle le temps contribue davantage que le taux pour la plupart des gens.

Maintenant, ajustez-le. À trois pour cent d'inflation, le chiffre de trente ans vaut environ 23 600 $ en pouvoir d'achat d'aujourd'hui plutôt que 57 400 $. Déduisez l'impôt sur la croissance et les frais, et il baisse encore. L'arithmétique n'a pas changé; la présentation, oui.

Ce sont des nombres ronds choisis pour la clarté. Ils ne sont pas une projection d'un quelconque produit, et aucun arrangement n'est décrit.

La composition contre vous

La section la plus souvent omise, et celle dont l'effet est le plus grand sur la plupart des ménages.

La dette de consommation se compose. Un solde porté à un taux annuel élevé, avec l'intérêt ajouté au solde à chaque période, grandit exactement selon l'arithmétique décrite ci-dessus. La règle de 72 s'applique: à dix-huit pour cent, un solde impayé double en environ quatre ans.

Les paiements minimums sont structurés autour de cela. Un paiement qui couvre l'intérêt et une petite fraction du capital prolonge la période pendant laquelle la composition opère, ce qui explique que le total remboursé puisse dépasser sensiblement le montant emprunté.

La comparaison qui compte. Une croissance qui se compose à un taux modeste ne devance pas une dette qui se compose à un taux élevé. Lorsque les deux existent, traiter la seconde surpasse généralement la poursuite de la première, et l'arithmétique est rarement assez serrée pour exiger un calcul.

L'intérêt versé est du capital non récupéré. Il part et ne revient pas, ce qui est le lien entre ce concept et la récupération du capital.

Pourquoi le temps l'emporte sur le taux, démontré

L'affirmation se répète sans être montrée, alors la voici.

Quelqu'un qui cotise pendant dix ans puis s'arrête, en laissant le montant se composer, finit fréquemment avec davantage que quelqu'un qui commence dix ans plus tard et cotise deux fois plus longtemps. Le premier a plus d'années de composition sur ses premières cotisations, et les premières cotisations sont celles qui ont le plus de temps pour travailler.

L'implication pratique est inconfortable. Les années les plus précieuses sont celles où le revenu est le plus bas et où les exigences concurrentes sont les plus fortes, ce qui est précisément le moment où les cotisations sont les plus difficiles à faire. C'est une véritable tension plutôt qu'un argument motivationnel, et toute présentation qui la traite comme une simple affaire de discipline a ignoré la situation des gens à qui elle s'adresse.

La version honnête. Commencez ce que vous pouvez soutenir plutôt que ce qu'une projection suggère. Une cotisation maintenue pendant trente ans surpasse une cotisation plus élevée abandonnée à l'année quatre, et la seconde est ce qui se produit lorsque le montant est fixé par l'optimisme.

Une remarque sur le vocabulaire employé à ce sujet

Le mot placement apparaît partout dans ce qui s'écrit sur les intérêts composés, y compris dans le titre dont la version anglaise de cette page a hérité. Il vaut la peine de séparer deux choses qu'il confond.

La composition est de l'arithmétique. Elle décrit le comportement d'une quantité lorsque les gains s'y ajoutent. Ce n'est pas un produit, une stratégie ni une catégorie d'actifs.

Un placement est une décision sur l'endroit où mettre du capital, avec un risque, un coût et un traitement fiscal rattachés. La composition opère à l'intérieur de plusieurs d'entre eux et à l'intérieur de plusieurs choses qui ne sont pas des placements du tout.

Confondre les deux permet à tout arrangement qui se compose d'emprunter la force persuasive de l'arithmétique sans que ses risques soient examinés. Un contrat d'assurance vie entière avec participation accumule de la valeur et c'est un produit d'assurance, non un placement. La composition à l'intérieur est réelle; sa structure de coûts l'est aussi, et elle est examinée dans les objections et les risques.

Quatre questions à poser devant toute projection composée

Applicables à une projection de qui que ce soit, y compris à tout ce qui se trouve sur ce site web.

Est-ce nominal ou réel? Un chiffre sur trente ans qui ignore l'inflation exagère sensiblement le pouvoir d'achat, et presque toutes les projections sont nominales à moins d'indication contraire.

Est-ce brut ou net? Avant ou après impôt, frais et coûts. Ces déductions se composent aussi, et une projection citant un taux brut face à une solution de rechange nette compare deux choses différentes.

Que présume-t-elle quant à l'interruption? Presque toutes les projections présument que les cotisations continuent et que rien n'est retiré. Demandez ce que devient le chiffre avec trois années de cotisations manquées, parce que c'est une vie normale plutôt qu'un cas pessimiste.

Qu'est-ce qui est garanti et qu'est-ce qui est présumé? Lorsqu'un arrangement comporte un plancher contractuel, ce plancher est la partie qui ne dépend de l'hypothèse de personne. Tout chiffre au-dessus repose sur une projection, et les deux ne devraient jamais être présentés comme un seul nombre.

Une projection qui répond aux quatre vaut la peine d'être lue. Une qui n'en répond à aucune est un document de commercialisation avec un graphique dedans.

Il y a une cinquième question qui mérite d'être ajoutée lorsque la projection porte sur un long horizon, et presque personne ne la pose. Que devient ce chiffre si l'hypothèse bouge d'un point de pourcentage? Sur trente ans, un seul point d'écart dans un taux présumé change le résultat d'une marge que la plupart des gens trouvent saisissante, ce qui est un rappel utile qu'une projection est un énoncé sur une hypothèse plutôt que sur l'avenir. Lorsqu'un présentateur ne peut pas vous montrer le chiffre à une hypothèse plus basse, il vous a montré un scénario et l'a appelé un plan.

La composition que vous interrompez, et celle que vous n'interrompez pas

L'arithmétique ci-dessus présume que le capital est laissé tranquille. Les ménages laissent rarement le capital tranquille, parce que la vie exige d'être financée.

Chaque retrait redémarre la courbe. Un véhicule acheté à même l'épargne retire la base qui se composait, et les années qu'il faudrait pour la reconstituer sont le coût réel de l'achat.

Chaque emprunt paie plutôt la courbe de quelqu'un d'autre. L'intérêt sort du ménage définitivement.

L'approche derrière Infinite Financial Sovereignty®, une marque déposée de José Salloum, vise précisément ce problème: du capital qui poursuit son propre calendrier pendant qu'il est utilisé, avec un flux remboursé de sorte que la base se reconstitue plutôt que de redémarrer.

Ce n'est pas un taux plus élevé, et toute description laissant entendre le contraire l'a mal décrite. C'est une réponse différente à la question de ce qui se produit lorsque l'argent est nécessaire, et cela coûte davantage que de laisser le capital intact. Les arguments contraires se trouvent dans les objections et les risques.

Ce à quoi la composition ne survit pas

L'interruption. Chaque retrait redémarre la courbe à partir d'une base plus basse, et les années qu'il aurait fallu pour la reconstituer sont le coût réel du retrait.

Les frais. Des frais facturés annuellement se composent contre la base aussi fidèlement que la croissance se compose pour elle.

Et une hypothèse tenue avec trop d'assurance. Une projection repose sur un taux que personne ne peut promettre, et plus la projection est longue, plus elle est faite d'hypothèses.

Lisez une projection comme une hypothèse assortie d'arithmétique, plutôt que comme une prévision. Cette habitude survit à tous les produits et à tous les marchés.

Ce que cette page ne fera pas

Elle n'emploiera pas l'arithmétique comme argument en faveur de quoi que ce soit.

La composition est une propriété des nombres. Savoir si un arrangement particulier la livre, à quel coût, et s'il vous convient, sont des questions distinctes exigeant des faits que cette page ne possède pas.

Les autres idées qui sous-tendent les décisions financières, expliquées de la même façon et sans produit rattaché, se trouvent dans les principes financiers.

Cette page est de l'information générale et ne constitue pas un conseil en placement, fiscal ou financier. Tous les montants mentionnés sont en dollars canadiens.